Die ungarische Methode - ein Algorithmus für Bipartite Matchings

Bachelorarbeit aus dem Jahr 2010 im Fachbereich Mathematik - Angewandte Mathematik, Note: 2,3, Technische Universität Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig, Sprache: Deutsch, Abstract: Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit der ungarischen Methode, bzw. dem ungarischen Algorithmus. Dieser Algorithmus stammt aus dem Bereich der Graphentheorie. Genauer gesagt lässt er sich der linearen Optimierung zuordnen. Der ungarische Algorithmus ist eine Methode zur Lösung von ungewichteten und gewichteten Zuordnungsproblemen in bipartiten Graphen. In dieser Arbeit werde ich mich aber ausschließlich mit dem ungarischen Algorithmus für ungewichtete Graphen beschäftigen. Alle genannten Begriffe werden im Laufe dieser Arbeit geklärt. Da die Optimierungsprozesse mich im Studium sehr interessiert haben, entschied ich mich für ein Thema aus diesem Bereich. Besonders interessant ist, dass sich die teilweise komplexen Probleme und deren Lösungen sehr gut durch Beispiele aus dem Alltag veranschaulichen lassen. So ist es auch mit dem ungarischen Algorithmus. Er liefert in einem ungewichteten Graphen die größtmögliche Zuordnung und in einem gewichteten Graphen die Zuordnung mit der besten Bewertung. Ein Beispiel für eine solche Art von Zuordnung ist, die Paarung von Arbeitssu-chenden zu freien Arbeitsplätzen, wobei jeder Arbeitssuchende für eine bestimmte Anzahl von Arbeitsplätzen qualifiziert ist. Auch die Zuordnung von Maschinen zu bestimmten Standorten lässt sich unter diesen Bereich fassen. Hierbei wird angestrebt, die Kosten, die bei dem Transport einer Maschine zu einem Standort entstehen, möglichst gering zu halten. Das wohl bekannteste Beispiel ist aber die Zuordnung von Damen zu heiratswilligen Herren. Dabei soll eine derartige Paarung gefunden werden, sodass alle, bzw. möglichst viele, Damen einen Herren heiraten, der ihnen gefällt. Hierauf werde ich später noch genauer eingehen, wenn ich zu dem sogenannten `Heiratssatz¿ komme, der von dem Engländer Philip Hall entwickelt wurde. Dies alles sind sehr interessante Beispiele für die der ungarische Algorithmus eine Lösung liefert. Die Zielsetzung dieser Bachelorarbeit ist es, die ungarische Methode vorzustellen, um den Problembereich genauer zu erörtern. Außerdem werde ich die einzelnen Schritte des ungarischen Algorithmus so darstellen, dass nachvollziehbar wird, wie der Algorithmus arbeitet. Anschließend soll deutlich gemacht werden, warum der ungarische Algorithmus funktioniert. Das heißt, dass ich zeigen werde, dass er immer Matchings mit maximalen Zuordnungen liefert.