Dynamische Modelle mit Hilfe der lokalen Volatilität

Inhaltsangabe:Einleitung: Im Rahmen dieser Diplomarbeit befassen wir uns mit der Modellierung von Aktienpreisprozessen mit Hilfe der lokalen Volatilität. Die Einführung der lokalen Volatilität in der finanzmathematischen Welt wurde von B. Dupire und E. Derman realisiert. In ihren Artikeln [18] beziehungsweise [17] analysieren die Autoren diese innovative Findung zur Bestimmung der Optionspreise. Der Aufbau dieser Diplomarbeit entspricht der chronologischen Reihenfolge, in der diese Modellierung erweitert worden ist. Zuerst befassen wir uns näher mit der Modellierung von Finanzmärkten nach F. Black und M. Scholes. Dieses in dem Jahr 1973 entwickelte Modell repräsentiert einen Ausgangspunkt für weitere Modellierungen. Wir diskutieren die restriktiven Annahmen dieses Modells und motivieren dadurch die Notwendigkeit eines permissiveren Modells. Der Aufbau des Modells und die Herleitung der Black-Scholes Gleichung werden in dem Kapitel 1 dieser Diplomarbeit detailliert präsentiert. In dem Kapitel 2 diskutieren wir verschiedene klassische Ansätze zur Bestimmung der Volatilität. Die Kritik an diesen Vorgehensweisen motiviert unsere Präferenz für die lokale Volatilität. Der Kern dieser Arbeit ist das Kapitel 3. Wir beginnen in diesem Kapitel mit der Herleitung der lokalen Volatilität nach Dupire. Dieses Resultat benötigen wir für den weiteren Verlauf dieser Arbeit. Die lokale Volatilität als bedingter Erwartungswert und die Umwandlung der lokalen Volatilität in die implizite Volatilität sind ebenfalls detailliert dargestellt. Das Verhalten der lokalen Volatilität in einem stochastischen Aktienpreismodell, sowie die Berechnung und Visualisierung der lokalen Volatilitätsäche ergänzen das Kapitel 3. Mit Hilfe eines Matlab-Programmes für eine parametrische Familie der lokalen Volatilität generieren wir die Flächen dieser Volatilität. Das Kapitel 4 fasst die Resultate aus den Artikeln [7], [8] und [9] zusammen. Wir geben in diesem Kapitel zwei Aktienpreismodelle an, in welchen die lokale Volatilität dynamisch ist. Unter geeigneten Regulationsannahmen beweisen wir, dass solche Aktienpreismodelle arbitragefrei sind. Dieses Resultat ist das Hauptergebnis des Kapitels 4. Für ein intuitiveres Verständnis visualisieren wir den Diffusionsterm der lokalen Volatilität, anhand eines Matlab-Programmes. Wir ergänzen die Analyse dieses Modells mit weiteren Anmerkungen über lokale Hedgingstrategien.Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis: 1.Modellierung nach Black und [...]