Lógica matemática

Fuente: Wikipedia. Páginas: 32. Capítulos: Lógica binaria, Número hiperreal, Décimo problema de Hilbert, Lógica combinatoria, Jerarquía aritmética, Número de Dedekind, Problema de satisfacibilidad booleana, Prueba de consistencia, Axioma, Jerarquía analítica, Sistema formal, Semántica, Igualdad matemática, Inducción estructural, Máquina oracle, Constructivismo, Postulado, Aritmética no estándar, Sistema axiomático, Función beta de Gödel, Sin pérdida de generalidad, Función indicatriz, Model checking, Leyes de De Morgan, Concepto primitivo, Teoría de tipos, Intuicionismo, Sistema B,C,K,W, Association for Symbolic Logic, Independencia, Aritmética de Heyting, Enumeración, Literal, Axioma de elección dependiente, Aserción lógica. Extracto: El décimo problema de Hilbert es uno de los veintitrés que David Hilbert propuso al término del siglo XIX. Su enunciado original es: En términos más modernos, Hilbert solicitaba a sus colegas del futuro un algoritmo capaz de admitir como entrada (input) una ecuación diofántica cualquiera, y de devolver SÍ como resultado (output) si la ecuación procesada tenía soluciones en los enteros o NO si la ecuación procesada carecía de soluciones en los enteros. El problema no se resolvió hasta 70 años después, y en sentido negativo. En 1970 Yuri Matiyasévich culminó más de veinte años de trabajo de varios matemáticos, entre ellos Martin Davis, Julia Robinson y Hilary Putnam, con la demostración de imposibilidad del décimo problema: ningún algoritmo es capaz de determinar la resolubilidad de cualquier ecuación diofántica. El planteamiento, desarrollo y demostración del problema tienen gran interés en matemática moderna, porque en ellos participan conceptos de teoría de números y de lógica matemática, y se abren nuevos campos de investigación en ambas disciplinas. Las palabras «proceso» y «número finito de operaciones» de su enunciado original sugieren claramente que Hilbert pedía un algoritmo. El término «racional entero» se refiere simplemente a los números enteros, positivos, negativos o cero: . Por tanto, Hilbert estaba pidiendo un algoritmo general que decidiera si un polinomio dado de coeficientes enteros ¿una ecuación diofánticä tenía solución en el dominio de los enteros. Hoy sabemos que la respuesta es negativa: no existe tal algoritmo general. Puede que el propio Hilbert no confiara en su existencia. Antes de presentar la lista de problemas, parecía presagiar la ausencia de solución, diciendo: Otros opinan que la «solución de insolubilidad» a la que se llegó siete décadas después no sólo hubiera sorprendido al auditorio que asistió en 1900 en la Sorbona a la presentación de Hilbert, sino posiblemente incluso al propio Hilbert, ya que se esperaba obtener un conjunto d